De onde vem o crosstalk?

Não dá para cavar debaixo de uma região para ver as rochas. Mandamos ondas para dentro da Terra, gravamos o eco na superfície e deixamos um computador reconstruir os mapas das propriedades das rochas que explicariam esse eco.

Na prática, queremos vários mapas de uma vez: por exemplo, a velocidade das ondas de compressão e a velocidade das ondas de cisalhamento. Aqui vamos chamá-los simplesmente de campo 1 e campo 2.

Os dados nunca contam a história inteira, então a resposta honesta não é um mapa só, e sim uma coleção de mapas possíveis, todos compatíveis com o que foi medido. Os estatísticos chamam essa coleção de distribuição posterior. Olhando para ela, aparece um padrão: quando um mapa possível tem o campo 1 mais alto em certo ponto, o campo 2 tende a estar mais alto (ou mais baixo) no mesmo ponto. Os campos estão ligados.

Os geofísicos chamam essa ligação de crosstalk, ou interferência entre parâmetros: parte do que aparece num mapa pode ser, na verdade, um reflexo do outro (Operto et al., 2013). Isso importa, porque decisões como onde perfurar ou como interpretar uma rocha são tomadas lendo esses mapas.

Ligações também podem ser postas de propósito

Antes de qualquer dado chegar, a inversão já carrega uma crença sobre como os campos são: o prior. No problema de teste deste estudo, o prior monta cada campo a partir de alguns padrões suaves, e uma fração \(s\) desses padrões é compartilhada pelos dois campos. Com \(s = 0\) os campos são independentes; com \(s = 1\) eles andam juntos. Sorteie alguns pares e veja a nuvem de pontos se inclinar conforme \(s\) cresce.

Experimente: sorteie dois campos do prior

baixoalto

Fração compartilhada s =

0,5

Sortear outro par

A ligação que aparece num resultado de inversão pode, portanto, ter sido posta pelo prior, pela medição, ou pelos dois. O resto desta página trata de separá-los.

A ligação entre os campos na posterior pode vir de três lugares. No mapa final os três ficam misturados, e nada mostra quem fez o quê.

Desligar cada suspeito

Para saber se um suspeito importa, a gente o desliga e vê o que muda. Cada desligamento é um experimento que dá para fazer de verdade:

• Operador desligado: medir cada campo separadamente, com o mesmo ruído. A informação sobre cada campo continua lá; só a mistura some.
• Prior desligado: manter as estatísticas de cada campo, mas tornar os dois independentes. Cada campo, sozinho, continua igual; só a ligação entre eles some.

Dois interruptores dão quatro combinações. Em cada uma, medimos o quanto os campos estão ligados na posterior, com uma medida de dependência \(D\):

	operador desligado	operador ligado
prior desligado	\(D(\varnothing)\): o que sobra sem nenhuma fonte	\(D(O)\): só a física
prior ligado	\(D(P)\): só o prior	\(D(OP)\): a situação real, a que o cientista vê

Uma divisão justa: o valor de Shapley

Falta dividir a mudança total, \(D(OP) - D(\varnothing)\), entre os suspeitos. Usamos o valor de Shapley (Shapley, 1953), uma regra da teoria dos jogos para repartir crédito num trabalho em grupo: o crédito de cada participante é o quanto ele acrescenta ao entrar no grupo, na média de todas as ordens possíveis de chegada. Com dois participantes,

\[ \varphi_O = \tfrac12\big[(D(O) - D(\varnothing)) + (D(OP) - D(P))\big], \qquad \varphi_P = \tfrac12\big[(D(P) - D(\varnothing)) + (D(OP) - D(O))\big], \]

e as parcelas sempre somam o total: \(\varphi_O + \varphi_P = D(OP) - D(\varnothing)\). O valor de Shapley já reparte variância entre entradas na análise de sensibilidade (Owen, 2014), inclusive quando as entradas são dependentes (Herin et al., 2022). Aqui os participantes não são entradas sorteadas de uma distribuição, e sim interruptores no próprio problema.

Uma parcela pode ser negativa: um suspeito pode tirar dependência. Por isso o estudo sempre reporta uma medida de dependência com sinal.

Para testar o método, precisamos de um problema cuja resposta certa seja conhecida. O problema de teste é artificial e totalmente controlado, e a posterior dele tem fórmula fechada.

O problema de teste

• Campos: dois mapas de 16 × 16 pontos, 512 números ao todo, sorteados do prior gaussiano da primeira seção, com fração compartilhada \(s\).
• Medição: cada campo é borrado e amostrado a cada tantos pontos (o passo; passo maior significa menos dados). Os dados dos dois campos são misturados com um acoplamento \(\kappa\): com \(\kappa = 0\) cada dado vê um campo só; conforme \(\kappa\) cresce, cada dado vê mais dos dois.
• Ruído: gaussiano, com a variância que você escolher. Ruído pequeno e passo pequeno significam dados informativos.

Com um prior gaussiano de covariância \(C_p\) e uma medição linear \(G\) com variância de ruído \(\sigma^2\), a posterior também é gaussiana, com covariância

\[ C = C_p - C_p G^\top \big(G C_p G^\top + \sigma^2 I\big)^{-1} G C_p . \]

De \(C\) lemos a dependência entre os campos. A medida principal é a correlação pontual média com sinal: a correlação \(\rho(x)\) entre o campo 1 e o campo 2 em cada ponto \(x\), na média dos 256 pontos. Há duas outras: a mesma média sem o sinal, e a informação mútua entre os campos inteiros.

Experimente: ligue e desligue cada fonte

Dados informativos Dados fracos Cabo de guerra Um ponto confirmatório

ρ = −1ρ = +1

Acoplamento do operador κ =

0,5

Fração compartilhada do prior s =

0,75

Variância do ruído 0,001 0,01 0,1 1 Passo 2 (64 dados por campo) 4 (16 dados por campo) 8 (4 dados por campo)

Medida de dependência

correlação com sinal sem sinal informação mútua

O que o caso exato mostra

Quanto do prior sobrevive depende dos dados. Experimente Dados informativos e depois Dados fracos. O prior é o mesmo e liga os campos fortemente, e o operador não os mistura. Mesmo assim, quase nada da ligação do prior sobrevive quando os dados são informativos, e quase toda ela quando dizem pouco. Os dados apagam a crença prévia na medida em que conseguem falar por si; com muitos dados, a dependência do prior em geral não é retida pela posterior (Hagar & Stevens, 2023).

Operador e prior podem puxar em sentidos opostos. Neste problema, a medição tende a criar dependência negativa (um campo sobe, o outro desce) e o prior, dependência positiva. Na grade de situações do estudo, as duas parcelas tiveram sinais opostos em das situações em que as duas fontes estavam presentes. Experimente Cabo de guerra: com um prior que amarra os campos quase perfeitamente, o mapa final ainda mostra uma ligação levemente negativa.

Quando o prior é uma rede neural, não existe mais fórmula para a posterior. Só dá para sortear mapas possíveis com um programa chamado amostrador, e estimar a dependência a partir desses sorteios.

Um amostrador um pouco torto pode criar ou tirar dependência por conta própria, como um termômetro que marca dois graus a mais. E mais sorteios não ajudam: só deixam o valor errado mais preciso. A demonstração abaixo usa uma posterior cuja resposta exata é conhecida. O controle de viés faz o amostrador encolher a ligação entre os campos por uma fração \(b\).

Experimente: estime a dependência a partir de amostras

Amostras por estimativa 16 64 256 Viés do amostrador b =

0

Sortear de novo

Posterior de um ponto confirmatório (κ = 0,25, s = 0,75, variância do ruído 0,1, passo 4), amostrada de forma exata; o amostrador torto sorteia da mesma posterior com a covariância entre os campos multiplicada por 1 − b.

Como o amostrador de verdade foi conferido

O amostrador do estudo é um método de Monte Carlo sequencial com twist (Wu et al., 2023). Antes de qualquer resultado, ele tinha que reproduzir respostas exatas em problemas como o de cima, em 512 dimensões, dentro de margens fixadas de antemão. Falhou duas vezes, foi diagnosticado e corrigido, e passou numa terceira semente, nova, com o pior caso em 0,92 da margem permitida.

Depois foi comparado com um amostrador construído de outro jeito, o DDSMC (Ekström Kelvinius et al., 2025), e com uma ablação do seu próprio twist, numa rede treinada em 128 dimensões: as 45 comparações, em cinco redes treinadas de forma independente, concordaram, julgadas contra a diferença esperada entre dois amostradores exatos.

Treinar redes e sortear milhares de mapas é caro. Existe um atalho: trocar a rede por uma substituta gaussiana, que guarda só a média e as correlações dos exemplos de treino. Para a substituta, a atribuição sai exata e de graça, pelas fórmulas das seções anteriores.

Trabalhos anteriores sugerem que redes de difusão, no regime em que generalizam, removem ruído quase como essa substituta gaussiana, pelo menos numa faixa de níveis de ruído e, para redes grandes, de forma passageira durante o treino (Li et al., 2024). Daí a hipótese do estudo:

Regras escritas antes dos dados

Para não ajustar o critério depois de ver o resultado, o teste foi pré-registrado: as regras de aprovação, as margens e até o programa de análise foram escritos e guardados antes dos experimentos rodarem. Quando uma regra precisou mudar, a mudança foi registrada como emenda datada, sempre antes de existirem os dados que ela julgaria. Duas exigências tinham que valer juntas, em oito situações (acoplamento do operador \(\kappa \in \{0{,}25;\ 0{,}75\}\), dependência do prior \(s \in \{0{,}25;\ 0{,}75\}\), dados informativos ou fracos), com quatro redes treinadas de forma independente por situação:

• Ordem: nas oito situações, a substituta tem que ordenar cada parcela como a rede ordena. A concordância é medida pelo \(\tau\) de Kendall, em que 1 é concordância perfeita; os limiares foram calculados de antemão a partir de quanto \(\tau\) uma substituta exatamente correta perderia para o ruído de estimação e a variação do treino.
• Tamanho: a dependência total prevista não pode errar mais que 4,5% em nenhuma das oito situações.

A rede está copiando os exemplos?

Uma rede que decora o conjunto de treino transforma a posterior numa consulta aos exemplos de treino (Siahkoohi & Sabeddu, 2026), e a substituta deixaria de valer. Por isso cada rede passou por um teste exato de cópia, que conta quase-duplicatas de exemplos de treino contra as de exemplos guardados fora do treino (Majhi & Bagchi, 2026). das redes treinadas para o teste passaram: nenhuma das suas amostras é quase-duplicata de um exemplo de treino.

A substituta ordena os suspeitos quase exatamente como a rede. Ela não acerta o tamanho quando o prior liga os campos só de leve.

Erro de tamanho nas oito situações confirmatórias

• dependência fraca no prior (s = 0,25)
• dependência forte no prior (s = 0,75)

Cada barra é uma situação: acoplamento do operador κ e se os dados são informativos ou fracos. A regra exigia todas as barras abaixo da linha tracejada.

Nas quatro situações com dependência fraca no prior, a substituta exagera a dependência total em ; nas quatro com dependência forte, o erro fica em , dentro da tolerância. Onde falha, a rede deixa menos dependência na posterior do que a substituta prevê.

Um resultado negativo também é resultado. O pré-registro previa isso: se a hipótese falhasse, o mapa de onde ela falha seria a contribuição. E o teste tinha controles que descartam as explicações fáceis: as redes não estavam copiando, e os amostradores concordavam nas situações usadas.

Olhando dentro das próprias redes, antes de qualquer dado entrar: a rede treinada carrega menos dependência entre os campos do que os seus próprios exemplos de treino tinham.

Medido como informação mútua contra sorteios da substituta gaussiana de cada rede, o déficit é de com dependência fraca no prior e de com dependência forte.

A primeira suspeita foi falta de treino: talvez a rede ainda não tivesse aprendido a ligação. Para testar, registramos um acompanhamento antes de rodá-lo: dezesseis redes treinadas oito vezes mais, até 160 mil passos, medindo o déficit ao longo do caminho.

Dependência perdida pela rede ao longo do treino

Média de quatro redes por linha, com a faixa das quatro sombreada. Laranja: dependência fraca no prior; azul: forte. Cheia: 4096 exemplos de treino; tracejada: 1024.

A resposta foi o contrário da suspeita. Em três das quatro configurações, o déficit cresceu com o treino nas quatro redes. Na quarta, ele já estava alto desde o primeiro ponto de controle e ficou parado. A falta de treino não explica nenhuma delas, e nenhum ponto de controle copia o seu conjunto de treino.

O tempo de treino, portanto, não é um detalhe técnico neutro: ele decide quanto da dependência real entre os campos chega até a resposta.

Limites

Tudo aqui foi feito num problema artificial, com campos gaussianos suaves e uma medição linear (cada dado é uma soma ponderada dos campos). Campos com bordas bruscas, física não linear como a propagação de ondas elásticas, e dados sísmicos reais ficam para os próximos capítulos da tese. As ferramentas clássicas medem o acoplamento do operador localmente, a partir da hessiana (Pan et al., 2018); compará-las com a parcela do operador também é trabalho futuro.

Próximo passo: o Estudo II mede, de forma controlada, como a dependência entre campos e a tendência da rede a copiar os exemplos dependem do número de exemplos e do tempo de treino.

Geradas a partir da bibliografia da tese por scripts/build_page.py. Entradas marcadas com † têm campos bibliográficos ainda não conferidos com o registro da editora.

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2. Ekström Kelvinius, F., Zhao, Z., Lindsten, F. (2025). Solving linear-Gaussian Bayesian inverse problems with decoupled diffusion sequential Monte Carlo. Proceedings of the 42nd International Conference on Machine Learning (ICML) 267, pp. 15148–15181. Citado em: Conferindo o instrumento
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10. Shapley, L. S. (1953). A value for n-person games. Contributions to the Theory of Games, Volume II pp. 307–317. † Citado em: Três suspeitos
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12. Wu, L., Trippe, B. L., Naesseth, C. A., Blei, D. M., Cunningham, J. P. (2023). Practical and Asymptotically Exact Conditional Sampling in Diffusion Models. Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS). Citado em: Conferindo o instrumento